«ОПТИМИЗАЦИЯ И УПРАВЛЕНИЕ»

Лектор – д.т.н., проф. ПОЛЯК Б.Т., ИПУ РАН, boris@ipu.ru

В первой части курса излагаются основные постановки задача оптимизации (безусловная минимизация, линейное программирование, выпуклая оптимизация, стохастическое программирование), необходимые условия экстремума в этих задачах, численные алгоритмы их решения. Обсуждаются проблемы практического использования оптимизационных моделей в различных приложениях.

Во второй части курса излагаются основы современной теории управления (различные способы описания линейных систем, оптимальное управление, методы синтеза регуляторов, проблемы робастного управления, нелинейные системы, хаос, управление хаосом). Вводится соответствующий математический аппарат из линейной алгебры и функционального анализа, позволяющий анализировать системы управления. Исследуются проблемы, возникающие при применении теории управления в конкретных областях.

Спецкурс – годовой, рассчитан на студентов 4-го курса МФТИ (первый семестр – 32 часа, второй семестр – 30 часов).

Часть 1 – ОПТИМИЗАЦИЯ

1. Примеры и роль задач оптимизации в технике, космонавтике, экономике, финансах. Основные классы задач оптимизации.

2. Безусловная минимизация: условия экстремума, градиентный метод и его модификации. Метод Ньютона. Сходимость и скорость сходимости методов.

3. Негладкие выпуклые задачи безусловной минимизации. Субградиент и его вычисление. Субградиентный метод.

4. Задачи минимизации на простых множествах. Метод проекции градиента и условного градиента.

5. Общая задача математического программирования. Правило множителей Лагранжа, теорема Куна – Таккера.

6. Выпуклое программирование. Двойственность. Теорема о седловой точке.

7. Методы решения задач нелинейного программирования. Алгоритмы линеаризации, допустимых направлений, штрафов.

8. Методы выпуклого программирования. Барьеры. Метод внутренней точки.

9. Матричные задачи оптимизации. Линейные матричные неравенства. Полуопределенное программирование.

10. Сложность задач и трудоемкость методов оптимизации. Эффективные методы.

11. Неопределенность в задачах оптимизации. Робастная оптимизация.

Часть 2 – УПРАВЛЕНИЕ

1. Задача оптимального управления. Программное управление. Критерии оптимальности. Связь с вариационным исчислением.

2. Методы решения задач оптимального управления. Принцип максимума. Численные методы. Связь с математическим программированием.

3. Недостатки программного управления – необходимость точного описания системы, отсутствие неопределенности и внешних возмущений. Идея обратной связи.

4. Обратная связь по состоянию и выходу для линейных систем. Линейно-квадратичный регулятор.

5. Подавление внешних возмущений. Модели внешних возмущений – случайные, убывающие, ограниченные возмущения.

6. Основы H^∞-оптимизации (подавление детерминированных убывающих возмущений либо гармонических сигналов с неизвестной частотой).

7. Основы l₁-оптимизации (подавление ограниченных детерминированных возмущений).

8. Роль неопределенности в задачах управления. Робастный подход.

9. Робастная устойчивость. Теорема Харитонова. Графические критерии. Матричная неопределенность.

10. Основы робастного управления.

11. Нелинейные дискретные системы. Неподвижные точки. Аттракторы и репеллеры. Циклы, их устойчивость.

12. Хаос в нелинейных системах. Бифуркации. Фракталы. Примеры хаотических систем. Управление хаосом.

ЛИТЕРАТУРА

1. Карманов В.Г. Математическое программирование. М. Наука. 1980.

2. Пшеничный Б.Н., Данилин Ю.М. Численные методы в экстремальных задачах. М. Наука. 1976.

3. Поляк Б.Т. Введение в оптимизацию. М. Наука. 1983.

4. Немировский А.С., Юдин Д.Б. Сложность задач и эффективность методов оптимизации. М. Наука. 1979.

5. Нестеров Ю.Е. Эффективные методы в нелинейном программировании. М., Радио и связь. 1989.

6. Васильев Ф.П., Иваницкий А.Ю. Линейное программирование. М. Факториал. 1998.

7. Сухарев А.Г., Тимохов А.В., Федоров В.В. Курс методов оптимизации. М. Наука. 1986.

8. Первозванский А.А. Курс теории автоматического управления. М. Наука. 1986.

9. Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления. М. Высшая школа. 1998.

10. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.Р. Оптимальное управление. М. Наука. 1979.

11. Квакернаак Х., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. М. Мир, 1977.

12. Пупков К.А., Фалдин Н.В., Егунов Н.Д. Методы синтеза оптимальных систем автоматического управления. М. МГТУ им. Баумана. 2000.

13. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление. М. Наука. 2002.

14. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. М. РХД. 2003.

15. Шарковский А.Н. и др. Разностные уравнения и их приложения. Киев, Наукова Думка, 1986.